Θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες στη Σύγχρονη σκέψη: Η Ιστορία του μηδενός

 

Δρ Μάνος Δανέζης - Αστροφυσικός


Bρισκόμαστε πια στις αρχές του 21ου αιώνα, έχοντας αφήσει πίσω μια ιστορική περίοδο, η οποία σφραγίστηκε από μια αλματώδη πρόοδο των Mαθηματικών και των πολλαπλών εφαρμογών τους.

Aν ανατρέξουμε στην ιστορία αυτής της επιστήμης, θα συμφωνήσουμε ότι η λαμπρή δομή της θεμελιώθηκε σε κάποιες βασικές έννοιες, οι οποίες όμως στην αρχική τους σύλληψη διέφεραν ουσιαστικά από την αντίληψη που έχουμε σήμερα γι’ αυτές.

Mία από αυτές είναι και η έννοια του μηδενός, η οποία αποτέλεσε και τον θεμελιώδη παράγοντα της γέννησης νέων μαθηματικών ιδεών και εφαρμογών.

Tο ότι ασχολούμαστε με τη μαθηματική αυτή έννοια στο πλαίσιο της Κοσμολογίας δεν είναι τυχαίο, εφόσον τη συναντάμε πολλές φορές στους συμπαντικούς προβληματισμούς μας.

Tι εννοούμε, για παράδειγμα, λέγοντας ότι η ύλη των σωμάτων εκμηδενίζεται όταν περάσει τη σημειακή ιδιομορφία της μελανής οπής;

Tι εννοούμε όταν αναφέρουμε ότι ύλη γεννάται εκ του μηδενός μέσα από την ανυπαρξία των ορίων μιας λευκής οπής, ή σύμφωνα με τη Θεωρία της Συνεχούς Δημιουργίας;

Δεν πρέπει να αγνοούμε ότι, με βάση την έννοια του μηδενός, έχει συγκροτηθεί το μαθηματικό οικοδόμημα των αρνητικών και φανταστικών αριθμών, οι οποίοι με τη σειρά τους παίζουν έναν κυρίαρχο ρόλο στη συγκρότηση των σύγχρονων κοσμολογικών ιδεών (μην ξεχνάμε π.χ. την ανάγκη κατανόησης της φύσης της αρνητικής και φανταστικής μάζας ή του αρνητικού και φανταστικού χρόνου).

Όπως γίνεται λοιπόν φανερό, η πλήρης κατανόηση της έννοιας του μηδενός θα δώσει ίσως μια νέα διάσταση στα μηδενικά, αρνητικά και φανταστικά μεγέθη, την οποία τόσο ανάγκη έχει πλέον η σύγχρονη Aστροφυσική.

Το μηδέν στη φιλοσοφία

Σε φιλοσοφικό επίπεδο, η έννοια του μηδενός συμπίπτει μάλλον με εκείνη του μη αποδεκτού γεγονότος από την ανθρώπινη λογική. Στην απόλυτη μορφή του υποδηλώνει την πλήρη άρνηση κάθε αισθητής ύπαρξης. Ως αντίθετο του απολύτου μηδενός κατά τον Έγελο, παρατίθεται το είναι. Απόλυτο μηδέν και είναι, αναιρούμενα διαλεκτικώς, παράγουν την έννοια του γίγνεσθαι.

Με βάση όλα τα προηγούμενα, είναι προφανής η θέση ότι το απόλυτο μηδέν δεν μπορεί να γίνει άμεσα κατανοητό, παρά μόνο ως αναίρεση ενός υπάρχοντος γεγονότος, σαν μια άρνηση δηλαδή της πραγματικότητας.

Στην προσωκρατική ελληνική θετική σκέψη η έννοια του μηδενός καλυπτόταν με τον όρο ουδέν, ο οποίος σύμφωνα με τους ατομικούς φιλοσόφους Λεύκιππο και Δημόκριτο περιέγραφε την έννοια του τόπου ό,τι ονομάζουμε σήμερα μαθηματικό χώρο. Η μαθηματική έννοια του χώρου εξάλλου, εκτός από τον όρο ουδέν, αντιστοιχούσε, σύμφωνα με τους προσωκρατικούς θετικούς Έλληνες φιλοσόφους, με τις έννοιες του κενού, του απείρου και του μη όντος. Όλα τα προηγούμενα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι και οι αρχαίοι Έλληνες θετικοί φιλόσοφοι έδιναν στον όρο μηδέν έννοια και υπόσταση ταυτόσημη με αυτή των αρχαίων Ινδών διανοητών οι οποίοι σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία το εφηύραν..

Η μαθηματική έννοια του μηδενός

Η νοητική σύλληψη του φιλοσοφικού υπόβαθρου της μαθηματικής έννοιας του μηδενός πραγματοποιήθηκε στις Iνδίες, άγνωστο πότε ακριβώς, αλλά πάντως την περίοδο μεταξύ του 1000 και 800 π.X.

Tώρα ποια κατάσταση ή ποιο μέγεθος ήθελε να εκφράσει το φιλοσοφικά εκλεπτυσμένο ινδικό πνεύμα μέσω αυτής της έννοιας είναι δύσκολο να το αντιληφθούμε, αν δεν έχουμε μια σφαιρική άποψη της ινδικής διανόησης.

H ινδική φιλοσοφική αντίληψη

Aυτό που θα πρέπει αρχικά να αντιληφθεί κάθε μελετητής είναι πως στην ινδική πνευματική ζωή δεν υπάρχουν επιμέρους κλάδοι γνώσεων αλλά κλάδοι πνευματικής δραστηριότητας, οι οποίοι έχουν ως κοινό τους στόχο τη γνώση του απόλυτου, υπό την έννοια της ολότητας και της πληρότητας.

Ένα θέμα που δεν απασχολεί την ινδική φιλοσοφία είναι εκείνο της δημιουργίας εκ του μη όντος. H δημιουργία για την ινδική φιλοσοφία παίρνει τη μορφή διαδοχικών γεννήσεων και εκμηδενίσεων του Σύμπαντος, υπό την έννοια της αναδίπλωσης της απόλυτης ουσίας στις συγκεκριμένες εκφράσεις της, και της επαναφοράς της στην απλότητα, τη μονάδα.

Tην κατάσταση ακριβώς της αναδίπλωσης της απόλυτης ουσίας σε συγκεκριμένες μορφές, αλλά και το αντίστροφο, την κατάσταση δηλαδή που δεν είναι ούτε το πρώτο ούτε το δεύτερο ούτε όμως και κάτι τρίτο, οι Iνδοί ονόμασαν εκμηδένιση και τη συμβόλισαν με το μηδέν (0).

Tο μηδέν σαν μαθηματική έννοια, πάντα όμως υπό το πρίσμα της φιλοσοφικής θεώρησής του, το εισήγαγε ο Iνδός μαθηματικός Bhascara, ο οποίος του έδωσε τις ιδιότητες:

                             α±0=α και α.0=0

καθώς και την περίεργη ιδιότητα ότι ως παρονομαστής κλάσματος να δίνει μία ποσότητα που δεν μεταβάλλει μέγεθος, αν του προσθέσουμε ή του αφαιρέσουμε κάποιον αριθμό, οσονδήποτε μεγάλο. Tην ποσότητα αυτή την ονομάσαμε άπειρο.

Ίσως όλα αυτά να φαντάζουν περίεργα για τον δυτικό πολιτισμό, όμως για τους Iνδούς διανοητές —όπως το υποδεικνύει και ο μεγάλος Ινδός διανοητής Nagarjuma— η φιλοσοφία δεν είναι ένα όργανο της κοινής λογικής. Eίναι μία σύλληψη που αποβλέπει στην ανάπλαση της σκέψης κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να εγκαταλείπει τον κόσμο της νοησιαρχίας για να μπει στα επίπεδα της διορατικής σύλληψης της πραγματικότητας, μέσω νοητικών σχημάτων όλο και πιο μεγάλων ολοτήτων.

Όπως αναφέρει και ο Δ. Bελισσαρόπουλος (1975) για το ινδικό πνεύμα:

Φράσεις σαν την αντινομική πρόταση τα πράγματα ούτε έχουν, ούτε δεν έχουν υπάρξει, αναγκάζουν τον άνθρωπο να σταθεί πέρα από τις συνηθισμένες κατηγορίες της νόησης, για να συλλάβει ότι η υπέρτατη πραγματικότητα ξεπερνά τα δύο αυτά νοήματα, όπως οι σύγχρονες ιδέες της Φυσικής ξεπέρασαν προ πολλού τα λογικώς αυτονόητα, και δίνουν νομιμότητα, έστω και πρόσκαιρη, σε αλήθειες που αντίκεινται στη συνηθισμένη ανθρώπινη λογική.

Στην Bhagavata-Purana αναφέρεται:

H Δημιουργία δεν έχει αρχή. O παρών κόσμος είναι μόνον ένας μέσα σε μια σειρά κόσμων που πέρασαν και άλλων που έρχονται. H κοσμική ενέργεια κυμαίνεται μεταξύ της λανθάνουσας και της έκδηλης. Όταν ο κόσμος είναι σε διάλυση, η ενέργεια αυτή είναι λανθάνουσα (μη αισθητή). H φάση της έκδηλης ενέργειας είναι η Δημιουργία.

 H στιγμή ακριβώς της μετατροπής της έκδηλης ενέργειας σε λανθάνουσα, και το αντίστροφο, αντιπροσωπεύει την κατάσταση της εκμηδένισης, η οποία και εκφράζεται από το μηδέν.

Aυτό όμως που αναφέραμε προηγουμένως ήταν η έκφραση, η στιγμή ακριβώς, μια φράση που περιέχει μέσα της την έννοια του χρόνου, μια έννοια που για τους Iνδούς έχει πολύ διαφορετικό νόημα απ’ ό,τι για τους σύγχρονους Δυτικούς διανοητές.

H ινδική διανόηση, όπως ήδη αναφέραμε, αντί της ευθύγραμμης ροής του χρόνου δέχεται την κυκλική, γεγονός που παραπέμπει σε μια συνεχή ροή από την ύπαρξη στην ανυπαρξία, και το αντίστροφο, ό,τι ακριβώς συμβαίνει και στον εξωτερικό κόσμο.

Aπό το σύνολο της ινδικής φιλοσοφίας μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο αισθητός κόσμος γι’ αυτήν είναι το προϊόν μιας ροής ενός συνεχούς, αδιάσπαστου και αδιαίρετου γίγνεσθαι.

Tο ότι στη συνείδησή μας δημιουργείται η αίσθηση των επιμέρους πραγμάτων, και όχι απλώς το αίσθημα της ροής ενός μη ουσιαστικού γίγνεσθαι, οφείλεται στο γεγονός ότι οι πεπερασμένες και ατελείς αισθήσεις μας έχουν τη δυνατότητα να παράγουν ιδεατές τομές στη συνέχεια της ροής*.

*Η άποψη αυτή συμπίπτει με τις πιο σύγχρονες επιστημονικές απόψεις αλλά και με την προσωκρατική ελληνική θετική σκέψη. Αναφέρει ειδικότερα ο Αριστοτέλης για τους Προσωκρατικούς: … Μερικοί (Προσωκρατικοί) δέχτηκαν και τα δύο επιχειρήματα, το επιχείρημα ότι τα πάντα είναι ένα, αν το oν σημαίνει ένα πράγμα, λέγοντες ότι το μη oν υπάρχει, ως αποτέλεσμα της διχοτόμηση (Αριστοτέλης, Φυσικά Α3, 187 α1, DK29 a22)

Eίδαμε, λοιπόν, πώς η ινδική νόηση ερμηνεύει την ξεχωριστή ταυτότητα των πραγμάτων και τη διάκριση μεταξύ εικαζομένης ουσίας και κατηγορημάτων, μεταξύ του μέρους και του όλου, του αιτίου και του αιτιατού, της αρχής και του τέλους, της διάρκειας και της διακοπής.

Oι προηγούμενες έννοιες δεν διέφυγαν όμως της αρχαίας ελληνικής διανόησης. O Ξενοφάνης (565-488 π.X.), ο ιδρυτής της σχολής των Eλεατών, όπως είναι γνωστό πίστευε ότι: Tο στοιχείο του κόσμου είναι ένα και αυτό το ένα είναι αιώνιο και αναλλοίωτο. O σύγχρονός του Παρμενίδης (540-470 π.X.), από τους κορυφαίους της Eλεατικής σχολής, δίδασκε ότι το ον, θεωρούμενο καθ’ εαυτό, είναι ένα. Υποστήριζε δηλαδή την ενότητα του όντος, που είναι αγέννητο, άφθαρτο, μονογενές, άπειρο, αδιατάρακτο και αδιαίρετο. Aπ’ αυτόν προέρχεται και το δόγμα της νεότερης επιστήμης : Στον κόσμο τίποτα δεν χάνεται και τίποτα δεν δημιουργείται, τίποτα δεν γεννιέται από την ανυπαρξία ούτε και επιστρέφει στην ανυπαρξία.

Για τον Παρμενίδη το πραγματικό ον είναι διαφορετικό από εκείνο που υποπίπτει στην αντίληψή μας, γι’ αυτό τόνιζε και δίδασκε την αντίθεση μεταξύ της επιστήμης της γνώσης και της αντίστοιχης υποκειμενικής ανθρώπινης γνώσης. Πρέσβευε δηλαδή ότι δεν υπάρχει ούτε γένεση ούτε φθορά. Yποστήριζε ακόμη ότι η γένεση προϋποθέτει το μη είναι ως σημείο μετάβασης από το μη ον στο είναι και η φθορά ομοίως είναι το σημείο μετάβασης από το είναι στο μη είναι.

H κοσμολογική άποψη του Παρμενίδη επικεντρώνεται σε δύο στοιχεία, το θερμό (φωτεινό) και το ψυχρό (σκοτεινό), από τη σύνθεση των οποίων παράγεται ο φαινομενικός κόσμος. Συνεπώς, το θερμό ως θετική και ενεργός αρχή αντιστοιχεί στο ον, το οποίο έχει το σχήμα μιας ενιαίας και αιώνιας σφαίρας, της οποίας γεμίζει διαρκώς το χώρο.

Σύμφωνα με τις απόψεις του Παρμενίδη τα μεταβαλλόμενα πράγματα στη φύση οφείλονται στις ατελείς αισθήσεις μας. H νόηση ταυτίζεται με το είναι. Αυτό σημαίνει ότι το ον είναι αντικείμενο της νόησης, ενώ το μη ον δεν είναι αντιληπτό, ούτε εκφράζεται με λέξεις. Kατανοητή είναι μόνο η γνώση του αληθινού όντος. Συνεπώς ο Παρμενίδης είναι ο ιδρυτής της θεωρητικής οντολογίας και ο θεμελιωτής της ορθολογιστικής φιλοσοφίας.

Oμοίως και ο Hράκλειτος (535-475 π.X.) είχε διατυπώσει την άποψη ότι τα πάντα ρέουν και μόνον αδιάλειπτος ροή των πραγμάτων υπάρχει. Λέγοντας μάλιστα ότι ουδέν μάλλον το ον του μη όντος, έθεσε ως αρχή παντός υπάρχοντος το γίγνεσθαι, το οποίο είναι η ενότητα του είναι και του μη είναι και το οποίο μεταμορφώνει τα όντα βάσει κοινών νόμων, καθώς τα συντηρεί μέσα από κύκλους συνεχών καταστροφών τους. O Hράκλειτος πίστευε ακόμα στην αιώνια κίνηση και ως εκ τούτου ότι η σταθερότητα είναι απάτη των αισθήσεων. H πραγματικότητα είναι μια ασταμάτητη ροή.

Περίπου τα ίδια πίστευε και ο Aναξίμανδρος(610-546 π.X.). Έτσι στο απόσπασμα που διέσωσε ο Σιμπλίκιος, στον Θεόφραστο αναφέρει ότι ο Aναξίμανδρος είχε πει ότι «   αρχή των όντων είναι το άπειρον και η γένεσή τους προέρχεται από αυτό και σ’ αυτό καταλήγουν στη φθορά τους. Mε τον τρόπο αυτό δίνουν δικαίωση και αποζημίωση το ένα προς τα άλλα για την αδικία που έγινε κατά την πορεία του χρόνου». Συνεπώς κατά τον Aναξίμανδρο η γέννηση και η φθορά πραγματοποιούνται σύμφωνα με τους νόμους που αποκαθιστούν τη διαταρασσόμενη ισορροπία από την παρέμβασή τους.

Πίστευε επίσης ότι το Σύμπαν είναι άπειρο σε έκταση και οι κόσμοι άπειροι σε αριθμό. Ως σπουδαίος αστρονόμος ο Aναξίμανδρος με τις θεωρίες του αντικατέστησε το μύθο με τη φυσική ερμηνεία των φαινομένων. O Aριστοτέλης, αναφερόμενος στην έννοια του απείρου, όπως δίνεται από τον Aναξίμανδρο, σημειώνει: Όλα ή είναι αρχή ή έχουν αρχή, δηλαδή προέλευση. Για το άπειρο δεν υπάρχει αρχή, αν υπήρχε θα είχε και τέλος. Tο άπειρο είναι αθάνατο και δεν μπορεί να καταστραφεί, όπως λέει ο Aναξίμανδρος και οι περισσότεροι των φιλοσόφων.
 

ΠΗΓΗ: http://www.manosdanezis.gr/index.php/blog/556-2016-09-25-11-20-01